Pré requis:
Le carré d’une différence
Les IDENTITES REMARQUABLES de la forme : ( A - B )2
COURS
Cetobjectif aborde les égalitésremarquables , appelé aussi«identités remarquables»
Cet objectif à pour but d’apprendre à reconnaître identifier et utiliser des types particuliersd’égalités en vue de traiter rapidementl’analyse sur les polynômes du second degré.
Développement de( A - B ) (A - B );soit la forme factorisée (a - b ) 2
(voirpage 7 objectif : FACDEVE)
soitla forme factorisée (a + b ) 2 ;
Recherche de la forme développée: (a-b ) (a -b) , onmet un indice à «a» et «b»
ce qui donne : (a1 - b1 ) ( a2 - b2) = ?se souvenir que (a1 = a2 etb1 = b2 )
ontransforme les soustractions en additions . (se souvenir qu une soustraction se transforme en addition à condition derespecter la règle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )
( a - b ) (a - b )= ( a1 + (-b1)) ( a2 + (- b2))
Développement:
( a - b ) ( a - b )= a1 a2 +a1 (-b2) +(- b1) a2 + (- b1)(- b2 )
Oneffectue le calcul pour chaque terme(avant de regrouper )
(voir objectif sur lesdécimaux relatifs: Obj: D....)
a1 a2 =a a = a2
a1(-b2) = ( - ab )
(- b1) a2 = - ba= (-ab )
(-b1)(- b2 ) = + bb == (+ b2 )
onréécrit l’égalité:
( a - b ) ( a - b ) =a2 + (- ab ) + (-ab)+ (+ b2)
( a - b ) ( a - b )= a2 + 2 (- ab ) + (+ b2)
ON RETIENDRA:
( a - b ) (a -b ) = a2 - 2ab + b2
Traduction en langage littéral :
Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrésde ces nombres diminuée de leur double produit.
Soit ( a - b ) (a - b) = a2+ b2- 2 ab
POUR COMPRENDRE:
Conseil: Pour éviter de faire des erreurs , il faut transformer «l’expressionalgébrique» dans les parenthèses en «sommealgébrique»
La méthode est plus longue , mais limitant les risques d’erreursde compréhension et de calculs.
| Développer : ( 2 x - 3 )²; On reconnaît la forme ( a – b ) ² = a² - ab + b² ; avec «a» = «2x» et «b» = 3 ; B = (2x)² - 2 ( 2x ) ( 3) + ( 3 )² B = 4 x² - 12 x + 9 | |
| Remarque: l’expression 2 x – 3 peut s’écrire sous la forme de la somme algébrique: ( +2 x ) + (– 3) dont (2 x – 3)² peut s’écrire (avec des crochets) [ ( +2 x ) + (– 3) ] ² ou (avec des double parenthèses) (2 x – 3)² = ( ( +2 x ) + (– 3) ) ² | |
| Question: est ce que ( 2 x - 3 )² = ( (+2x) + (-3) ) ²? | |
| ( (+2x) + (-3) ) ² = (+2x)² + 2 (+2x) (-3) + (-3)² = (+4 x² ) + 2 ( - 6x) + ( +9) = (+4 x² ) + ( - 12 x) + ( +9) = si l’on simplifie = 4 x² - 12 x + 9 | |
| Le développement de ( 2 x - 3 )² est-il égal au développement de ( (+2x) + (-3) ) ² Oui si dans ( 2 x - 3 )² «a» = 2x et «b» = 3 et si dans ( (+2x) + (-3) ) ² «a» = (+2x) et «b» = ( -3) |
Casoù on demande de développer (- 2x –3 )²
| ATTENTION: ( - 2 x - 3 )²; n’est pas de la forme ( a – b ) ² = a² - ab + b² ( avec a = 2» et b = 3 ) Ce serait vraie si: on écrit que ( - 2 x - 3 )²; est de la forme ( a – b ) ² = a² - ab + b² à la condition que l’on prenne le signe «moins» devant 2 ( avec a = -2» et que l’on ne prenne pas en considération le signe «moins» devant «b» Remarque: il est difficile d’expliquer pourquoi on prend -2 pour «a» et 3 pour «b» Le mieux pour comprendre il faut procéder comme ci-dessous: ( - 2 x - 3 )² se transforme et devient : ( (- 2 x) + ( - 3) )² ; qui est de la forme ( a + b) ² , avec «a» = (-2x) et «b» = ( -3) ; B = (- 2x)² + 2 ( - 2x ) (- 3) + ( -3 )² B = 4 x² + 12 x + 9 | |
| Remarque: l’expression - 2 x – 3 peut s’écrire sous la forme de la somme algébrique: ( - 2 x ) + (– 3) dont (-2 x – 3)² peut s’écrire (avec des crochets) [ ( - 2 x ) + (– 3) ] ² ou (avec des double parenthèses) (- 2 x – 3)² = ( ( - 2 x ) + (– 3) ) ² | |
| Question: est ce que ( - 2 x - 3 )² = ( (- 2x) + (-3) ) ²? | |
| ( (- 2x) + (-3) ) ² = (- 2x)² + 2 (- 2x) (-3) + (-3)² = (+4 x² ) + 2 ( + 6x) + ( +9) = (+4 x² ) + ( + 12 x) + ( +9) = si l’on simplifie = 4 x² + 12 x + 9 | |
| Le développement de ( - 2 x - 3 )² est-il égal au développement de ( (- 2x) + (-3) ) ² Oui si dans ( -2 x - 3 )² «a» = - 2 x et «b» = 3 et si dans ( (- 2x) + (-3) ) ² «a» = (- 2x) et «b» = ( -3) Remarque: il est difficile d’expliquer pourquoi on prend -2 et 3 |
EXERCICES TYPES :
Pourchaque exercice ,il y a deux solutions:
Première solution: onapplique directement : (a - b ) 2= a2 -2ab +b2
onpose a = x et b =1 ;
Deuxième solution: on transforme (a - b) 2 en (a + (-b) ) 2
Dansce cas on pose a = x et (- b) = (-1 )
et l’on développe................
Dans les exemples quisuivent la première solution sera retenue:
A )Développer : ( x -1 ) ( x - 1) qui s’écrit ( x - 1 ) 2
on applique : (a - b ) 2 = a2-2ab +b2
(x- 1 ) 2 = x2- 2 fois x fois 1 + 12
On calcule pour chaqueterme: 2 fois x fois 1 = 2x et12 = 1
(x - 1 ) 2 = x2-2 x +1
B) On veut: Développer : ( 3x - 2 ) ( 3x - 2) qui s’écrit ( 3x - 2 ) 2
on applique : (a - b ) 2 = a2- 2ab +b2
- On posea = 3xet b = 2
: ( 3x - 2 ) 2 = ( 3x)2 - 2 fois «3x» fois 2+22
- On calcule pour chaqueterme:
a2 = (3x) 2 = 9 x2
2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12 x
b2 = 22= 4
-Conclusion: (3x - 2 ) 2= 9 x2 -12 x + 4
Inversem*nt: nouspouvons factoriser l’expression dusecond degré de la forme : a2 -2ab +b2 , (si l’on saitidentifier cette forme)
Nousvenons de voir que l’expression dela forme «a2 - 2ab + b2» est la forme développée du carré d’unedifférence du type (a - b ) 2 ; nous pouvons conclure que la formefactorisée de a2 -2ab +b2 est (a- b ) 2 .
Exercices types :
| Factoriser: 9 x2 - 12 x + 4 | Info plus. |
Procédure:(de factorisation)
a )On reconnaît un polynôme du second degré(grâce au « x2» )
b) On remarque que ce polynôme contient trois termes ,dont un terme (en«x» de degré 1 ) ,«négatif», il pourraitêtre de la forme a2 -2ab+b2
c) Nous allons comparer terme à terme , pourvérifier si ce polynôme peut se mettresous la forme (a-b)2 ; dont laforme développée est a2 -2ab+b2
1 )Est ce que 9 x2 est de la forme a2 ?
CONVENTION D’ECRITURE :
Dansl’expression (a - b ) 2 ; 9 x2 est de la forme «a2»est non de la forme «b2» ; parce que «le terme en«x» de chaque facteur est «en tête» , donc suivi dusigne « -»
Onutilisera toujours cette écriture (x - b ) 2 au lieu de(a - x ) 2 )
9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,
( se souvenir que le carré d’un produit est égaleau produit des carrés (et inversem*nt leproduit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2 =( 3x )2 )
On peut conclure que 9x2 est de la forme a2; soit ( 3x )2
2) Est ce que12x est de la forme 2 a b ?
on décompose 12 en produit de facteurspremiers : 12 = 2 fois 2 fois 3;donc 12x s’écrit «2»fois «2» fois «3» fois «x»
on en déduit que «ab» vaut «2» fois «3» fois«x»; on saitque «a» vaudrait 3x ;il reste la valeur«2» pour«b»
3) Est ce que «2» convient pour «b»?
On sait que b2 est égale à 4 ,que racinecarrée de 4 vaut 2 , donc«b» à pour valeur«2»
d) Inventaire descalculs:
puisque a2 = ( 3x )2
queb = 2 ;donc que b2 =4
que2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12x
e) Conclusion:
9 x2- 12 x + 4 est de la forme a2 -2ab +b2 ; avec a = 3x et b = 2; doncla forme factorisée de 9x2-12x +4 = ( a -b )2
Réponse: la factorisationde 9x2 -12x +4 est( 3x - 2 ) 2
Certains polynômes dusecond degré ne peuvent se factoriser de façon «directe» tel :
x2 - x +1 ; x2-18x+77 ; 2x2-13x+21 ;........................
Nous trouverons une solution,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons l’objectif traitant de l’équation du seconddegré. «EQUA2°<![if !supportNestedAnchors]><![endif]>»
Factorisation: Conduisant à la forme canonique |
| Soit l’ équation: x2 – 4x + 9 | On remarque que x2 – 4x est le début du développement de ( x –2 ) 2 ( x –2 ) 2 = x2 – 4x + 4 on en déduit que x2 – 4x = ( x –2 ) 2 - 4 aussi: x2 – 4x +9 =( x –2 ) 2 – 4 +9 aussi: x2 – 4x +9 =( x –2 ) 2 + 5 |
| Soit l’ équation: 2x2 – 7x - 4 | 2x2 – 7x – 4 = 2 ( x2 - <![if !vml]> x2 - <![if !vml]> de ( x2 - <![if !vml]> on peut remplacer: [x2 - <![if !vml]> d’où [x2 - <![if !vml]> ainsi: ( x2 - <![if !vml]> en conclusion: 2x2 – 7x – 4 = 2 ( x2 - <![if !vml]> ou: 2x2 – 7x – 4 = 2 [( x2 - <![if !vml]> |
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>| Soit l’ équation: 3x2 – 2x + 4 | 3x2 – 2x + 4 on factorise par «3» 3x2 – 2x + 4 = 3 ( x2 - <![if !vml]> en remarquant que x2 - <![if !vml]> on peut écrire: x2 - <![if !vml]> on remplace dans l’équation ci dessous x2 - <![if !vml]> on supprime les crochets: x2 - <![if !vml]> on calcule: -<![if !vml]> ainsi: x2 - <![if !vml]> puisque 3x2 – 2x + 4 = 3 ( x2 - <![if !vml]> on remplace ( x2 - <![if !vml]> 3x2 – 2x + 4 = 3 [(x - <![if !vml]> d’où: 3x2 – 2x + 4 = 3 ((x - <![if !vml]> on peut donc écrire en conclusion que: 3x2 – 2x + 4 = 3 [(x - <![if !vml]> |
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>
<![endif]>APPLICATION
Données du problème :
Un rectangle a pour aire : ........................
Sa longueur est de : x +
Sa largeur est dex + ...
Questions :
Calculer«x»
Calculer sa longueur et sa largeur:
CONTROLE:
Donner la forme mathématique du développer du carréd’une différence de deux nombres.
I )Développer:
| <![if !supportLists]>1. <![endif]> | (3x-1) 2 = |
| <![if !supportLists]>2. <![endif]> | ( x-1 ) 2 = |
| <![if !supportLists]>3. <![endif]> | (x -3 )2 = |
| <![if !supportLists]>4. <![endif]> | (x -<![if !vml]> |
| <![if !supportLists]>5. <![endif]> | (x<![if !vml]> |
<![endif]>)2=II) Factoriser:
| <![if !supportLists]>a) <![endif]>x2 - 12x +36 <![if !supportLists]>b) <![endif]> | |
| b) 16x2 - 4x + 9 |
;
III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantespour les transformer en carré d’une différence ?:
| a) a2 + b 2 | |
| b) 9a2 + b2 | |
| c) a2 - 2ab | |
| d ) 4a2 - 4ab | |
| e) -10ab +b2 | |
| f) a2 +9b2 |
IV )Trouver une forme factorisée intégrantun «carré» de la forme des IR
| a) Soit l’ équation: 3x2 – 2x + 4 | |
| b) Soit l’ équation: 2x2 – 7x - 4 | |
| c) Soit l’ équation: x2 – 4x +9 |
CORRIGE CONTROLE:
Donner la forme mathématique dudévelopper du carré d’une différence de deuxnombres.
EVALUATION.
I ) Développer:
| (3x-1) 2 = | |
| ( x-1 ) 2 = | |
| (x -3 )2 = | |
| (x -<![if !vml]> | |
| (x<![if !vml]> |
<![endif]>)2=
<![endif]> -1) =II ) Factoriser:
| x2 - 12x +36 | |
| 16x2 - 4x + 9 |
;
III ) Que faut-il ajouteraux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:
| a2 + b 2 | |
| 9a2 + b2 | |
| a2 - 2ab | |
| 4a2 - 4ab | |
| -10ab +b2 | |
| a2 +9b2 |
IV )Trouver une formefactorisée intégrant un «carré» de la forme des IR
| Soit l’ équation: 3x2 – 2x + 4 | 3x2 – 2x + 4 = 3 [(x - <![if !vml]> |
| Soit l’ équation: 2x2 – 7x - 4 | 2x2 – 7x – 4 = 2 [( x2 - <![if !vml]> |
| Soit l’ équation: x2 – 4x +9 | x2 – 4x +9 =( x –2 ) 2 + 5 |
