les identitées remarquables (a + b) ² (2024)

A ) Développer : ( x +1 ) ( x + 1 ) qui s’écrit ( x + 1 ) 2

on applique : (a + b ) 2 = a2 +2ab +b2

on pose a = x et b = 1 ;

(x + 1 ) 2 = x2 +2 fois x fois 1 +12

On calcule pour chaque terme

2 fois x fois 1 = 2 x

12 = 1

(x + 1 ) 2 = x2 + 2 x +1

B)Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) qui s’écrit ( 3x + 2 ) 2

on applique : (a + b ) 2 = a2 +2ab +b2

On pose a = 3x et b = 2

: (3x + 2 ) 2 = (3x)2 +2 fois 3x fois 2 +22

On calcule pour chaque terme:

(3x)2 = 9 x2

2 fois 3x fois 2 = 12 x

22 = 4

Conclusion: (3x + 2 ) 2 = 9 x2 + 12 x + 4

Le résultat de l’exercice suivant sera repris dans le second degré

<![if !vml]><![endif]>

Développer

<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (2)<![endif]>

<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (3)<![endif]>=

<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (4)<![endif]><![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (5)<![endif]>

On développe

xx + <![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (6)<![endif]>+ <![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (7)<![endif]>+<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (8)<![endif]>

On regroupe les termes

x2+ 2 (<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (9)<![endif]>) +<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (10)<![endif]>

On calcule

1 °) calcul:

2 (<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (11)<![endif]>) = <![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (12)<![endif]>=<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (13)<![endif]>=<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (14)<![endif]>

2°) calcul:

+<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (15)<![endif]>=<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (16)<![endif]>=<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (17)<![endif]>

On regroupe:

<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (18)<![endif]>= x2+<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (19)<![endif]> +<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (20)<![endif]>

Remarque: l’écriture x2 + <![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (21)<![endif]>

Ce travail est reprit dans la résolution des équations du second degré.

Est la première partie (x2 +<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (22)<![endif]>) de la factorisation de l’équation:

ax2 + b x + c = a (x2 +<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (23)<![endif]>+<![if !vml]>les identitées remarquables (a + b) ² (24)<![endif]>)


Factoriser

Factoriser : a2 +2ab +b2

Nous savons que la forme a2 +2ab +b2 est la forme développer de (a + b ) 2 ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de a2 +2ab +b2 est (a + b ) 2 .

Exercice type :

Factoriser: 9 x2 + 12 x + 4

Procédure: (de factorisation)

a ) On reconnaît un polynôme du second degré (grâce au « x2» )

b) Ce polynôme contient trois termes positifs il pourrait être de la forme a2 +2ab +b2

c) Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme peut se mettre sous la forme (a +b)2 ; dont la forme développée est a2 +2ab +b2

1 ) Est ce que 9 x2 est de la forme a2 ?

9 est le carrée parfait de 3 on peut écrire 9x2 = 32 fois x2 ,

( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversem*nt le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2 =( 3x )2 )

on peut conclure que 9x2 est de la forme a2 ; soit ( 3x )2

2) Est ce que 12x est de la forme 2 a b ?

on décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3; donc 12x s’écrit «2» fois «2» fois «3» fois «x»

on en déduit que «ab» vaut «2» fois «3» fois «x»

on sait que «a» vaudrait 3x ; reste la valeur «2» pour «b»

3) Est ce que «2» convient pour «b»? On sait que b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , «b» à pour valeur «2»

d) Inventaire des calculs:

puisque a2 = ( 3x )2

que b = 2 ;donc que b2 =4

que 2ab = 2 fois 3x fois 2 = 12x

e) Conclusion:

9 x2 + 12 x + 4 est de la forme a2 +2ab +b2 ; avec a=3x et b=2

donc la forme factorisée de 9x2 +12x +4 = ( a + b ) 2

Réponse la factorisation de 9x2 +12x +4 est ( 3x + 2 ) 2

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser avec cette méthode tels :

x2 + x + 1 ; x2+18x+77 ; 2x2+13x+21 ;........................

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons l’objectif traitant de l’équation du second degré. «EQUA2°»

Données du problème :

Un rectangle a pour aire : ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de x + ...

Questions :

Calculer «x»

Calculer sa longueur et sa largeur:

les identitées remarquables (a + b) ² (2024)
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